Настоящее учебное пособие написано в соответствии с требованиями ФГОС к дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Данный курс предназначен для студентов экономических специальностей. Здесь затронуты такие классические темы данного курса, как случайные события и их вероятности, случайные величины и их распределения, элементы математической статистики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 6
Глава 1. СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ 7
1.1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства 7
1.1.1. Случайные события. Операции над ними 7
1.1.2. Вероятности 10
1.1.3. Свойства вероятностей. 12
Задачи к разделу 1.1 13
1.2. Схема равновозможных исходов 14
1.2.1. Классическая вероятность 14
1.2.2. Элементы комбинаторики 15
1.2.3. Геометрическая вероятность 17
1.2.4. Гипергеометрическое распределение 19
Задачи к разделу 1.2 20
1.3. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формулы Байеса 23
1.3.1. Условные вероятности 23
1.3.2. Формула полной вероятности 24
1.3.3. Формулы Байеса 25
Задачи к разделу 1.3 26
1.4. Независимость случайных событий 29
1.4.1. Независимость двух событий 29
1.4.2. Независимость многих событий 30
Задачи к разделу 1.4 32
1.5. Дополнительные задачи к главе 1 32
Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 35
2.1. Случайные величины со значениями в R1 35
2.1.1. Случайные величины 35
2.1.2. Функция распределения 35
2.1.3. Свойства функции распределения 37
Задачи к разделу 2.1 39
2.2. Дискретный и непрерывный типы распределений 39
2.2.1. Дискретная случайная величина 39
2.2.2. Непрерывная случайная величина 42
2.2.3. Примеры случайных величин 44
Задачи к разделу 2.2 49
2.3. Функция от случайной величины 52
Задачи к разделу 2.3 54
2.4. Случайные величины со значениями в Rn 54
2.4.1. Случайные векторы 54
2.4.2. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины 56
2.4.3. Независимость случайных величин 60
Задачи к разделу 2.4 64
2.5. Испытания Бернулли 66
2.5.1. Основные определения 66
2.5.2. Формула Бернулли 67
2.5.3. Теоремы Муавра–Лапласа 68
2.5.4. Теорема Пуассона 71
Задачи к разделу 2.5 72
2.6. Числовые характеристики случайных величин 75
2.6.1. Математическое ожидание случайной величины 75
2.6.2. Дисперсия случайной величины 78
2.6.3. Примеры вычисления математического ожидания и дисперсии 81
2.6.4. Коэффициент корреляции случайных величин 83
Задачи к разделу 2.6 88
2.7. Предельные теоремы теории вероятностей 91
2.7.1. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности 91
2.7.2. Закон больших чисел 92
2.7.3. Центральная предельная теорема 95
Задачи к разделу 2.7 97
2.8. Дискретные цепи Маркова 98
2.8.1. Определения 98
2.8.2. Уравнение Колмогорова–Чепмена 100
2.8.3. Эргодичность. Стационарные вероятности 101
2.8.4. Классификация состояний цепи Маркова 102
Задачи к разделу 2.8 105
2.9. Дополнительные задачи к главе 2 105
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 108
3.1. Введение. Основные понятия математической статистики 108
3.1.1. Выборка, основные задачи математической статистики 108
3.1.2. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма выборки 109
3.1.3. Выборочные характеристики случайной величины 113
Задачи к разделу 3.1 116
3.2. Примеры параметрических семейств распределений 117
3.3. Оценивание неизвестных параметров 119
3.3.1. Оценка. Определение 119
3.3.2. Свойства оценок 120
Задачи к разделу 3.3 124
3.4. Методы получения оценок 124
3.4.1. Метод моментов 124
3.4.2. Метод максимального правдоподобия 126
Задачи к разделу 3.4 129
3.5. Сравнение оценок. Неравенство Рао–Крамера 131
3.5.1. Среднеквадратический подход 131
3.5.2. Асимптотический подход 132
3.5.3. Неравенство Рао–Крамера 132
3.6. Построение доверительных интервалов 135
Задачи к разделу 3.6 140
3.7. Проверка статистических гипотез 141
3.7.1. Основные понятия 141
3.7.2. Принцип Неймана–Пирсона построения критериев. Лемма Неймана–Пирсона 143
3.7.3. Примеры критериев для проверки гипотез 147
Задачи к разделу 3.7 153
3.8. Линейная регрессия между двумя случайными величинами 154
3.8.1. Задача о наименьших квадратах 155
3.8.2. Задача о линейной регрессии 156
Задачи к разделу 3.8 159
3.9. Дополнительные задачи к главе 3 160
ПРИЛОЖЕНИЕ 162
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 166