Монография посвящена исследованию дифференциальных уравнений (ДУ), описывающих волновые процессы в неоднородных средах, свойств семейств кривых и поверхностей с помощью группового и геометрического анализа. Изучена группа эквивалентности уравнения эйконала и других ДУ и ее дифференциальные инварианты. На этой основе получены групповое расслоение широкого класса ДУ, новые дифференциальные тождества, новое описание кинематической задачи сейсмики, точные решения, связи между различными ДУ, дифференциальные законы сохранения для уравнений эйконала, гидродинамики, семейств кривых и поверхностей и др. Эти результаты выявляют ряд новых возможностей группового и геометрического анализа.
Монография предназначена для специалистов, аспирантов, студентов, интересующихся методами математической физики, группового и геометрического анализа и их приложениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список основных обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Цель работы и ее основные направления . . . . . . . . . . . . . . 16
Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Результаты по основным направлениям исследований
и краткий библиографический обзор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Методы исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Часть I. Общая схема предлагаемого группового подхода
Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому
анализу дифференциальных уравнений F[u, a] = 0 с
переменными коэффициентами (параметрами) a(x) . . . 71
1.1. Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой группы при групповом анализе дифференциальных уравнений F[u, a] = 0 с произвольными переменными
коэффициентами (параметрами) a(x): введение равноправия u(x) и a(x) и вычисление допускаемой группы в пространстве (x,u1 = u,u2 = a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2. Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.3. Общая схема предлагаемого группового подхода и логическая структура монографии в гл. 1–4. Обратная задача группового расслоения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Часть II. Двумерный случай
Глава 2. Рассматриваемая группа G и ее свойства. Построение группового расслоения (в явном виде) для широкого класса дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом (параметром)
u2(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1. Группа G. Ее инварианты, дифференциальные инварианты первого и второго порядка, операторы инвариантного дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2. Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3. Теорема о базисе дифференциальных инвариантов группы G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4. Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным параметром u2(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5. Примеры классических линейных и нелинейных уравнений математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) u2(x, y), допускающих группу G, для которых теоремы п. 2.4.1, 2.4.2 дают групповое расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат выполненного группового анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.1. Различные формы системы R и разрешающей системы RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение пары Лакса в явном виде . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.3. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат применяемого группового подхода и следствия из него . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Глава 4. Приложения результатов группового подхода, полученных в гл. 1–3, к конкретным дифференциальным уравнениям математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) u2(x, y) . . . . 177
4.1. Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики). Новое описание с помощью группового подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2. Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода. Групповое расслоение и представление
Лакса для них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3. Волновое уравнение с произвольной переменной скоростью распространения волн. Групповое расслоение и представление Лакса. Сведение обратной задачи к прямой задаче для разрешающей системы. Определение функционалов в локальных обратных задачах . . . . . . . . . 232
4.4. Определение точных инвариантно-групповых решений
с помощью метода группового расслоения . . . . . . . . . . . . . 250
Глава 5. Законы сохранения и другие дифференциальные тождества для плоских векторных полей и для семейств плоских кривых. Их геометрической смысл и связь с группой G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.1. Поля T (v) и S(τ ). Основное тождество. Дивергентное тождество (закон сохранения) для поля единичных векторов τ (x, y) на плоскости. Обобщение тождества
div T = div T (v) = 0, где v = grad u(x, y), для произвольного плоского векторного поля v = v(x, y) . . . 272
5.2. Дивергентные формулы (законы сохранения) в дифференциальной геометрии плоских кривых (законы сохранения для семейств плоских кривых) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.3. Случаи плоского потенциального и соленоидального поля v(x, y). Тождества для векторных полей
T , S(τ ), S ∗ , Q, V = |v| 2T и законы сохранения. Дифференциальные тождества для скалярной функции u(x, y), связывающие ее лапласиан, модуль и угол направления ее
градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.4. Геометрический смысл закона сохранения div S ∗ = 0 ⇔ div S(τ ) = 0 ⇔ div T (v) = 0.
Способы его вывода . . . . . 295
Глава 6. Формулы дифференциальной геометрии, полученные с помощью тождеств § 5.3, 5.4, и их связи с группой G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.1. Дивергентное представление гауссовой кривизны поверхности, заданной графиком, в трехмерном евклидовом и псевдоевклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.2. Формулы, выражающие гауссову кривизну поверхности и полную (интегральную) кривизну области на ней через дифференциальные параметры Бельтрами . . . . . . 304
6.3. Формулы, содержащие геодезическую кривизну . . . . . . . 307
Глава 7. Дифференциальные законы сохранения и другие тождества для уравнений математической физики. Их геометрический смысл. Связь между уравнением Монжа — Ампера и уравнением для функции тока . . . . . . . . 309
7.1. Гидродинамические уравнения Эйлера и уравнение Монжа — Ампера .. . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.2. Квазилинейное уравнение эллиптического типа . . . . . . . 318
7.3. Уравнение эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Часть III. Трехмерный случай
Глава 8. Группа G10 (трехмерный аналог группы G двумерного случая) и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.1. Основная группа (эквивалентности), допускаемая трехмерным уравнением эйконала в пространстве (x, y, z, t, u1 = u, u2 = n2). Группа G10 и ее базисные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.2. Дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования группы G10 . . . . . . . . . . . . . . 336
8.3. Выражение скалярной кривизны R через дифференциальные инварианты группы G10 (трехмерный аналог формулы (8.1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Глава 9. О некоторых формулах для семейств кривых и поверхностей
и дивергентных представлениях Ю. А. Аминова . . . . . . 345
9.1. Предварительные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.2. Векторные поля S(τ ), S∗ в трехмерном случае. Поля A1, A2, R∗ . Формулы для div S(τ ), div S∗. . 351
9.3. Инвариантные формы векторов rot R∗, A1, A2 . . . . . . . . 354
9.4. Связь между величинами div S(τ ) = −2K, κ, τ , ν, β.
О законах сохранения для семейства кривых Lτ . . . . . . . 355
9.5. Соленоидальное представление вектора P через поле R∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.6. Свойства семейства {Sτ } поверхностей Sτ . . . . . . . . . . . . . 357
9.7. О связях между характеристиками взаимно ортогональных семейств кривых и поверхностей . . . . . . . . . . . . . 360
9.8. О законах сохранения для семейства поверхностей . . . . 367
9.9. Трехмерные аналоги вида div {S(τ ) − Φ} = 0 ⇔ div{T (v) − Φ} = 0 двумерного закона сохранения
div S(τ ) = 0 ⇔ div S∗ = 0 ⇔ div T (v) = 0. . . . . . . . . . . . . . 372
9.10. Дополнительные формулы для полей S(τ ), T (v), V =|v|2T (v) в случае потенциального поля v(x, y, z) . . . . . . 374
Глава 10. Приложения результатов главы 9 к уравнениям математической физики в трехмерном случае . . . . . . . . . 377
10.1. Законы сохранения для гидродинамических уравнений Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2. Законы сохранения и другие формулы для семейств лучей и фронтов и для уравнения эйконала . . . . . . . . . . . . . . 381
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
I. Общие выводы по главам 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
II. О дифференциальных тождествах, найденных в § 2.2,
3.3, 5.1–5.3, и их приложениях в главах 6, 7 . . . . . . . . . . . 389
III. Общие выводы по главам 8–10 трехмерного случая . . . 391
IV. Области исследования и их взаимодействие . . . . . . . . . . . 392
Приложение 1. Об ограничениях, которым должны удовлетворять переменный параметр n2(x) = 1/c2(x)
в волновом уравнении и уравнении эйконала в силу определяющих уравнений алгебры Ли основной группы, допускаемой этими уравнениями в пространствах (x, y, t, u =u1), (x, y, z, t, u = u1), (x, y, u = u1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
1.1. О группе точечных преобразований, допускаемой волновым уравнением в пространстве (x, y, z, t, u) и (x, y, t, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
1.2. О группе точечных преобразований, допускаемой уравнением эйконала в пространстве (x, y, τ ) и (x, y, t, τ ) . . 397
Приложение 2. Основная группа точечных преобразований, допускаемая волновым уравнением в пространстве (x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) и (x, y, z, t, u1 = u, u2 = 1/c2). . 401
2.1. Случай пространства (x, y, t, u1 = u, u2 = 1/c2) . . . . . . . . 401
2.2. Случай пространства (x, y, z, t, u1 = u, u2 = 1/c2). . . . . . 412
Приложение 3. Основная группа, допускаемая уравнением эйконала в пространстве (x, y, u1 = τ, u2 = n2) и (x, y, t, u1 = τ, u2 = n2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.1. Случай, когда t фиксировано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.2. Случай, когда t преобразуется вместе с x, y, u1 =
τ, u2 = n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Приложение 4. Вычисление коммутатора для любых двух
операторов X и X˜ вида (2.1.1) группы G . . . . . . . . . . . . . . 421
Приложение 5. Базисные операторы группы G10 в развернутом виде. Коммутационные соотношения . . . . . . . . . . . 422
Приложение 6. Первое продолжение базисных операторов группы G10 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Приложение 7. Второе продолжение базисных операторов группы G10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432