Монография посвящена линейной задаче о возмущениях ударной волны. Эта задача имеет долгую историю и может считаться классической. В данной работе предлагается сравнительно новый метод построения решения задачи, в основе которого лежит применение преобразования Фурье сразу по всем переменным. Это преобразование переводит задачу в алгебраическую, что позволяет выписать решение задачи в явном виде, проанализировать с помощью современных математических методов его структуру, качественные свойства, уточнить некоторые известные результаты теории ударных волн и получить новые результаты.
Монография предназначена для специалистов, аспирантов, докторантов, студентов, которые интересуются современными методами математической физики и их приложениями в гидро- и аэродинамике.
Оглавление
Введение 7
1 Постановка задачи 13
1.1 Общая задача об ударной волне 13
1.1.1 Основные уравнения и соотношения 13
1.1.2 Примеры уравнений состояния 15
1.1.3 Разрывные решения. Условия на поверхности разрыва 19
1.2 Постановка линейной задачи 25
1.2.1 Основное решение 25
1.2.2 Линеаризация задачи вблизи основного решения 26
1.3 Преобразование Фурье. Постановка задачи в спектральных переменных 36
1.3.1 Преобразование Фурье 37
1.3.2 Задача в спектральных переменных: 45
2 Исследование задачи в спектральных переменных, алгоритм решения 47
2.1 Расположение корней многочленов P, Q 47
2.2 Векторные базисы 62
2.3 О решении линейных алгебраических уравнений в классе обобщенных аналитических функций 73
2.4 Общие формулы решения начальной задачи 83
2.5 О выделении сингулярных и регулярных членов в решении 87
3 Анализ и физическая интерпретация структуры решения 91
3.1 Разложение решения в сумму акустической и энтропийно-вихревой волн 91
3.2 Начальная, преломленная и отраженная волны .... 100
3.2.1 Волны, вызванные начальными возмущениями перед фронтом: падение на фронт и преломление 101
3.2.2 Волны, вызванные начальными возмущениями за фронтом: падение на фронт и отражение 107
3.3 Переход к безразмерным параметрам и переменным 115
3.4 Устойчивость, нейтральная устойчивость, неустойчивость 120
3.4.1 Вывод общих условий 120
3.4.2 Устойчивость задачи для политропного газа 134
3.4.3 Пример нейтральной устойчивости для газа Вандер-Ваальса 136
4 Распространение плоских волн 139
4.1 Общий вид плоских волн 139
4.2 Преобразование Фурье плоских волн 143
4.3 Плоские волны перед фронтом и за фронтом 145
4.3.1 Плоские волны перед фронтом 145
4.3.2 Плоские волны за фронтом. Затухающие волны 147
4.4 Общий вид решения задачи об ударной волне в случае устойчивости 156
4.5 Преломление предфронтовых плоских волн 158
4.5.1 Деформация фронта и прошедшие волны, порождаемые предфронтовыми плоскими волнами 158
4.5.2 Соответствие между углами падения и преломления 160
4.5.3 Коэффициенты преломления для политропного газа, усиление (амплификация) 169
4.6 Плоские волны за фронтом и их отражение 174
5 Преломление и отражение в случае нейтральной устойчивости 179
5.1 Особенности нейтральной устойчивости 180
5.2 Затухающие начальные данные. Спонтанное излучение 180
5.3 Преломление и отражение плоских волн 186
5.3.1 Преломление плоских волн 186
5.3.2 Отражение плоских волн 193
5.3.3 Обобщенные коэффициенты 197
6 Асимптотика возмущения фронта 203
6.1 Представление возмущения фронта 204
6.2 Вывод асимптотики 219
Заключение 240