Учебник содержит необходимый теоретический материал, методические пояснения и рекомендации к решению задач и упражнений по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии.
Учебник предназначен для студентов 1 курса факультета прикладной математики и информатики НГТУ. Может быть также полезен студентам технических специальностей высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Указатель основных обозначений 8
Глава 1. Комплексные числа 11
Комплексные числа и действия с ними 11
Глава 2. Матрицы и определители 17
§ 2.1. Действия с матрицами 17
§ 2.2. Определение и простейшие свойства определителей 23
§ 2.3. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа 30
§ 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений. Обратные матрицы 35
Глава 3. Линейные пространства 41
§ 3.1. Определение линейного пространства 41
§ 3.2. Линейная зависимость векторов 47
§ 3.3. Эквивалентные системы векторов 52
§ 3.4. Базис и размерность линейного пространства 56
§ 3.5. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств 64
Глава 4. Системы линейных уравнений 71
§ 4.1. Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная система решений 71
§ 4.2. Неоднородные системы. Теорема Кронекера–Капелли 76
Глава 5. Евклидовы и унитарные пространства 81
§ 5.1. Определение евклидова пространства 81
§ 5.2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис 85
§ 5.3. Ортогональное дополнение. Ортогональные суммы подпространств 92
§ 5.4. Унитарное пространство 98
Глава 6. Квадратичные формы 103
§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа 103
§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом
Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы 111
Глава 7. Линейные операторы в линейных пространствах 117
§ 7.1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора 117
§ 7.2. Связь между координатами вектора-образа и вектора-прообраза. Ядро и образ линейного оператора 125
§ 7.3. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
Действия с линейными операторами 131
§ 7.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 138
§ 7.5. Линейные операторы простой структуры 144
§ 7.6. Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах 149
Глава 8. Элементы аналитической геометрии 171
§ 8.1. Прямые в аффинном пространстве 171
§ 8.2. Плоскости в аффинном пространстве 184
§ 8.3. Прямые и плоскости в аффинном пространстве 192
§ 8.4. Кривые второго порядка 198
§ 8.5. Поверхности второго порядка 214
Глава 9. Канонический вид линейных операторов 229
§ 9.1. Жорданова нормальная форма матриц 229
§ 9.2. λ-матрицы 236
Глава 10. Функции от матриц 245
Вычисление значений функций от матриц различными способами 245
Ответы и указания 252
Библиографический список 300
Предметный указатель 302