На главную Написать письмо Карта сайта

Издательство

Сектор реализации

Типография

Портал НГТУ


заказ книг

Курс математического анализа

Книга написана в соответствии с учебной программой курса математического анализа для вузов. Издается в двух частях. Во вторую часть включены разделы: дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных, их геометрические и механические приложения, обыкновенные дифференциальные уравнения, элементы векторного анализа (теория поля), числовые и функциональные ряды, ряды и интегралы Фурье. Объем и содержание тем в основном соответствуют рабочей программе для студентов I курса технических специальностей. Цель написания учебника – помочь студентам в осмыслении основных понятий и методов математического анализа и в грамотном их применении.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие    5
Основные обозначения    6
Глава 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ    9
§ 1.1. Пространство Rn. Понятие функции нескольких переменных    9
1.1.1. Арифметическое точечное пространство Rn    9
1.1.2. Понятие функции нескольких переменных    13
§ 1.2. Понятие предела функции нескольких переменных    15
§ 1.3. Непрерывность функций нескольких переменных    19
§ 1.4. Дифференцирование функций нескольких переменных    21
1.4.1. Частные и полные приращения функции    21
1.4.2. Частные производные    23
1.4.3. Геометрический и механический смысл частных производных функции двух переменных    26
§ 1.5. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости    27
§ 1.6. Полный дифференциал функции нескольких переменных    32
§ 1.7. Дифференцирование сложной функции    34
§ 1.8. Функции нескольких переменных, заданные неявно    39
1.8.1. Неявные функции. Теорема существования неявной функции    39
1.8.2. Дифференцирование неявных функций    41
§ 1.9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух независимых переменных    43
§ 1.10. Частные производные и дифференциалы высших порядков    48
1.10.1. Частные производные высших порядков    48
1.10.2. Дифференциалы высших порядков    51
§ 1.11. Формула Тейлора для функции двух переменных    53
§ 1.12. Локальные экстремумы функции двух переменных    55
§ 1.13. Условный экстремум функции нескольких переменных    63
§ 1.14. Наибольшее и наименьшее значения (глобальные экстремумы) функции двух переменных в замкнутой области    69
§ 1.15. Приближение функций на основе экспериментальных данных по методу наименьших квадратов    73
Вопросы для самопроверки    80
Глава 2. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ    83
§ 2.1. Интегралы по фигуре от скалярной функции    83
§ 2.2. Частные случаи интегралов по фигуре от скалярной функции и их свойства    86
§ 2.3. Механическое и геометрическое истолкования интеграла
по фигуре от скалярной функции    92
2.3.1. Механический смысл интеграла по фигуре от скалярной функции    92
2.3.2. Геометрический смысл интеграла по фигуре от скалярной функции    94
§ 2.4. Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат    96
§ 2.5. Криволинейные координаты. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Вычисление двойного интеграла
в полярной системе координат    112
2.5.1. Криволинейные координаты. Цилиндрическая и сферическая системы координат    112
2.5.2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат    113
§ 2.6. Общий случай замены переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции    117
2.6.1. Общая постановка задачи о замене переменных в пространстве R3    117
2.6.2. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан    118
2.6.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах    122
§ 2.7. Применение интегралов по фигуре от скалярной функции в геометрии    127
2.7.1. Вычисление площади плоской фигуры    127
2.7.2. Вычисление объема тела    129
2.7.3. Вычисление площади поверхности    132
2.7.4. Вычисление длины дуги    133
§ 2.8. Применение интеграла по фигуре от скалярной функции в механике    134
2.8.1. Вычисление массы материальной фигуры    134
2.8.2. Вычисление статических моментов    136
2.8.3. Координаты центра масс и моменты инерции материальной фигуры    139
§ 2.9. Векторная функция трех переменных. Ориентированная фигура. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции    143
§ 2.10. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Свойства интеграла по фигуре от векторной функции
и его механический смысл    145
§ 2.11. Вычисление криволинейного интеграла второго рода    148
§ 2.12. Вычисление поверхностного интеграла второго рода    153
§ 2.13. Теорема и формула Остроградского–Грина    157
§ 2.14. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Определение функции двух переменных по ее полному дифференциалу    162
2.14.1. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования    162
2.14.2. Определение функции двух переменных по ее полному дифференциалу    167
Вопросы для самопроверки    169
Глава 3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ    173
§ 3.1. Основные понятия и определения. Примеры физических и геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям    173
§ 3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка    186
3.2.1. Формы записи ДУ первого порядка    186
3.2.2. Геометрический смысл интегрирования ДУ первого порядка    187
3.2.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши    188
3.2.4. Общее и частное решение ДУ первого порядка. Его общий и частный интегралы    192
3.2.5. ДУ, интегрируемые в квадратурах    193
§ 3.3. Уравнения с разделяющимися переменными    194
3.3.1. Интегрирование ДУ с разделяющимися переменными    194
3.3.2. Особые точки и особые решения ДУ    198
§ 3.4. Однородные уравнения    201
§ 3.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка    206
3.5.1. Определения и решение однородного линейного ДУ    206
3.5.2. Решение неоднородного линейного ДУ методом Бернулли    207
3.5.3. Метод вариации постоянной    209
§ 3.6. Уравнение Бернулли    214
§ 3.7. Уравнения в полных дифференциалах    216
§ 3.8. Дифференциальные уравнения высших порядков    221
3.8.1. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши    221
3.8.2. Общее и частное решения, общий и частный интегралы ДУ n-го порядка    223
§ 3.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка    224
3.9.1. Уравнения вида      225
3.9.2. Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции  y(x)  и нескольких последовательных производных      226
3.9.3. Уравнение, не содержащее явно независимой переменной    227
§ 3.10. Линейные однородные ДУ высшего порядка    231
§ 3.11. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Фундаментальная система решений ОЛДУ n-го порядка    235
§ 3.12. Структура общего решения линейного однородного ДУ    242
§ 3.13. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами    245
§ 3.14. Линейные неоднородные ДУ n-го порядка    251
§ 3.15. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) для интегрирования неоднородного линейного ДУ    254
§ 3.16. Неоднородные линейные ДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью    259
§ 3.17. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы    269
§ 3.18. Системы линейных дифференциальных уравнений и их общие свойства     275
§ 3.19. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера    280
§ 3.20. Линейная неоднородная система ДУ. Метод вариации постоянных    287
§ 3.21. О численных методах решения задач для дифференциальных уравнений    289
Вопросы для самопроверки    290
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА (ТЕОРИЯ ПОЛЯ)    293
§ 4.1. Содержание векторного анализа (теории поля)     293
§ 4.2. Скалярное поле и его основные характеристики. Поверхности и линии уровня     299
§ 4.3. Производная функции или скалярного поля по направлению    302
§ 4.4. Градиент скалярного поля и его свойства    306
§ 4.5. Векторное поле и его основные характеристики. Векторные линии    312
§ 4.6. Поток векторного поля    316
§ 4.7. Дивергенция векторного поля    322
§ 4.8. Теорема Остроградского–Гаусса    325
§ 4.9. Циркуляция и ротор векторного поля    329
4.9.1. Циркуляция векторного поля    329
4.9.2. Ротор векторного поля    332
§ 4.10. Теорема Стокса    336
§ 4.11. Специальные виды векторных полей    338
4.11.1. Потенциальное векторное поле    338
4.11.2. Соленоидальное векторное поле    343
4.11.3. Гармоническое поле    344
§ 4.12. Операторы Гамильтона и Лапласа    345
Вопросы для самопроверки    349
Глава 5. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ     351
§ 5.1. Числовые ряды. Основные определения    352
§ 5.2. Простейшие теоремы и линейные операции над сходящимися рядами    355
5.2.1. Простейшие свойства числовых рядов    355
5.2.2. Линейные операции над рядами    357
§ 5.3. Необходимый признак сходимости ряда    358
§ 5.4. Числовые ряды с неотрицательными членами. Основной признак сходимости. Интегральный признак Коши–Маклорена    360
5.4.1. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда    360
5.4.2. Интегральный признак Коши–Маклорена    361
§ 5.5. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения    366
§ 5.6. Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки Даламбера и Коши    372
5.6.1. Признак Даламбера     372
5.6.2. Радикальный признак Коши    376
§ 5.7. Знакочередующиеся ряды    380
§ 5.8. Знакопеременные ряды    382
5.8.1. Определения    382
5.8.2. Достаточный признак (абсолютной) сходимости знакопеременного ряда    382
5.8.3. Признак Даламбера и радикальный признак Коши для знакопеременных рядов    383
5.8.4. Сочетательное и переместительное свойство сходящихся (положительных или знакопеременных) рядов    385
§ 5.9. Ряды с комплексными членами    387
§ 5.10. Функциональные ряды. Основные понятия    389
§ 5.11. Равномерная сходимость функциональных рядов    394
§ 5.12. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов и их сумм    398
5.12.1. Непрерывность суммы ряда    398
5.12.2. Почленное интегрирование функционального ряда    400
5.12.3. Почленное дифференцирование функционального ряда    401
§ 5.13. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости    404
§ 5.14. Свойства степенного ряда    410
5.14.1. Непрерывность суммы степенного ряда     410
5.14.2. Почленное интегрирование степенного ряда    411
5.14.3. Почленное дифференцирование степенного ряда    412
§ 5.15. Ряды Тейлора. Степенной ряд как ряд Тейлора    415
5.15.1. Основные теоремы    415
5.15.2. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена    419
§ 5.16. Методы и приемы разложения функций в ряд Тейлора    425
§ 5.17. Некоторые применения степенных рядов    428
Вопросы для самопроверки    437
Глава 6. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ    441
§ 6.1. Периодические, кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции    443
6.1.1. Периодические функции и их свойства    443
6.1.2. Кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции    445
§ 6.2. Пространство  L2  и ортогональные системы функций    447
6.2.1. Пространство  L2    447
6.2.2. Ортогональные системы функций    448
§ 6.3. Основная тригонометрическая система функций и другие ортогональные системы    451
6.3.1. Тригонометрические ортогональные системы функций    451
6.3.2. Нетригонометрические ортогональные системы функций     453
§ 6.4. Ряды Фурье по ортогональным системам функций    457
§ 6.5. Приближение функций в среднем. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Тождество Бесселя    459
6.5.1. Приближение функций в среднем    459
6.5.2. Обобщенные и тригонометрические многочлены Фурье    460
6.5.3. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье и тождество Бесселя    461
§ 6.6. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутости    463
6.6.1. Неравенство Бесселя    463
6.6.2. Равномерная сходимость и сходимость в среднем    464
6.6.3. Уравнение замкнутости    466
6.6.4. Обобщенное уравнение замкнутости    467
§ 6.7. Полнота системы функций    468
§ 6.8. Тригонометрические ряды Фурье    469
6.8.1. Ряд Фурье для периодической функции с периодом  T = 2l    469
6.8.2. Ряд Фурье для периодической функции с периодом  T = 2п     474
§ 6.9. Достаточные признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье. Принцип локализации    474
6.9.1. Достаточные признаки    474
6.9.2. Принцип локализации    477
§ 6.10. Разложение в тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций    481
§ 6.11. Разложение в тригонометрический ряд Фурье для непериодических функций и в произвольном промежутке     485
§ 6.12. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме    490
§ 6.13. Геометрическое истолкование пространства L2 [a, b], разложения в ряд Фурье и уравнения замкнутости    492
§ 6.14. Интеграл Фурье и его формы     497
6.14.1. Интеграл Фурье в вещественной форме    497
6.14.2. Интеграл Фурье в комплексной и тригонометрической формах    500
Вопросы для самопроверки    505
Библиографический список    507

Назад в раздел

Новинки

Игнатьев В.И.
Социология информационного общества
Год издания: 2017
Число страниц: 356
ISBN: 978-5-7782-3239-6
Бирюков В.В.
Оборудование нефтегазовых производств
Год издания: 2016
Число страниц: 514
ISBN: 978-5-7782-3009-5
Анисимов М.П.
Поверхности скоростей зародышеобразования
Год издания: 2017
Число страниц: 172
ISBN: 978-5-7782-3291-4

Новости

24 Май 2017
На сайте обновлен прайс-лист на учебную литературу, учебники и монографии.
Подробнее

17 Мар 2017
Подписан Приказ о включении работ в серии "Учебники НГТУ", "Монографии НГТУ 2017 г.
Подробнее

© 1994-2013, Издательство НГТУ
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс: +7 (383) 346-31-87, эл. почта: office@publish.nstu.ru